De nombreuses études biologiques portent sur la relation entre deux variables quantitatives mesurées sur les mêmes individus : taille et poids, dose et effet, température et croissance. Ce dernier chapitre présente le nuage de points, le coefficient de corrélation linéaire qui mesure la force d'une relation, et la droite de régression qui permet de la modéliser et de prédire une valeur — en insistant sur la différence essentielle entre corrélation et causalité.
1. Le nuage de points et la covariance
Lorsqu'on mesure deux variables quantitatives X et Y sur les mêmes individus, chaque individu devient un point de coordonnées (xi, yi) : l'ensemble forme le nuage de points, première étape visuelle avant tout calcul. La covariance Cov(X, Y) mesure si les deux variables varient dans le même sens (covariance positive : quand X augmente, Y augmente en moyenne) ou en sens opposé (covariance négative), en généralisant à deux variables le principe de la variance ; mais son signe seul renseigne, sa valeur dépend des unités et n'est pas directement interprétable. Une covariance proche de zéro signale l'absence de relation linéaire, sans pour autant exclure une relation d'un autre type entre les deux variables ; l'inspection visuelle du nuage de points reste, à ce stade, irremplaçable.
2. Le coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire r standardise la covariance en la divisant par le produit des écarts-types de X et de Y, ce qui le rend sans unité et compris entre −1 et +1. Un r proche de +1 indique une relation linéaire positive forte (le nuage de points s'aligne le long d'une droite croissante), un r proche de −1 une relation linéaire négative forte (droite décroissante), et un r proche de 0 l'absence de relation linéaire — ce qui n'exclut pas une relation non linéaire que r ne détecte pas. Une fois calculé sur un échantillon, r peut lui-même faire l'objet d'un test statistique pour vérifier si la corrélation observée est significativement différente de zéro dans la population, plutôt que de résulter du seul hasard de l'échantillonnage.
3. La droite de régression linéaire
Quand une relation linéaire entre X (variable explicative) et Y (variable à expliquer) paraît plausible, on ajuste une droite de régression y = ax + b au nuage de points par la méthode des moindres carrés : elle choisit la pente a et l'ordonnée à l'origine b qui minimisent la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite. Cette droite permet ensuite de prédire une valeur de Y pour une valeur de X, en gardant à l'esprit que l'extrapolation en dehors du domaine des valeurs observées est risquée. La droite de régression passe toujours par le point moyen de coordonnées (x̄, ȳ), un repère utile pour vérifier rapidement la cohérence d'un calcul de a et de b.
4. Le coefficient de détermination R²
Le coefficient de détermination R², carré du coefficient de corrélation pour une régression linéaire simple, exprime la proportion de la variabilité de Y expliquée par X à travers la droite de régression, le reste étant attribué à d'autres facteurs ou au hasard. Un R² proche de 1 signifie que la droite explique la quasi-totalité de la dispersion des points ; un R² proche de 0 signifie que la droite n'apporte presque rien par rapport à la seule moyenne de Y. R² est toujours compris entre 0 et 1, contrairement à r qui peut être négatif : le passage au carré fait perdre l'information sur le sens de la relation, que seul r conserve.
5. Corrélation n'est pas causalité
Une corrélation forte entre X et Y, même statistiquement significative, ne prouve jamais à elle seule que l'une cause l'autre : elle peut refléter l'action d'une troisième variable (facteur de confusion) qui influence à la fois X et Y, une simple coïncidence, ou un sens de causalité inverse de celui supposé. Établir un lien de causalité exige un raisonnement expérimental supplémentaire (groupe témoin, randomisation), au-delà du seul calcul du coefficient r. C'est un point de vigilance fréquemment rappelé en conclusion des travaux dirigés du module. Un exemple souvent cité en cours est celui de deux variables qui augmentent toutes deux avec le temps ou avec la taille d'une population étudiée : leur corrélation peut être élevée sans qu'aucune des deux n'influence directement l'autre.
Nombre r compris entre −1 et +1 qui mesure la force et le sens d'une relation linéaire entre deux variables quantitatives ; r = ±1 correspond à un alignement parfait sur une droite.
Méthode qui détermine la droite de régression en choisissant les paramètres qui minimisent la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées de Y et les valeurs prédites par la droite.
| Valeur de r | Relation linéaire | Nuage de points |
|---|---|---|
| Proche de +1 | Positive forte | Aligné, croissant |
| Proche de 0 | Absente (au sens linéaire) | Dispersé, sans tendance |
| Proche de −1 | Négative forte | Aligné, décroissant |
Lire la valeur du coefficient de corrélation
- Le nuage de points précède toujours le calcul : il révèle la forme de la relation entre X et Y.
- Coefficient de corrélation r ∈ [−1, +1], sans unité ; r proche de ±1 = relation linéaire forte, proche de 0 = absente.
- Droite de régression y = ax + b, obtenue par la méthode des moindres carrés (minimise les écarts au carré).
- R² = proportion de la variabilité de Y expliquée par X à travers la droite de régression.
- Corrélation, même forte, n'implique pas causalité : toujours envisager un facteur de confusion.
Le calcul du coefficient de corrélation puis de l'équation de la droite de régression à partir d'un petit tableau de couples (xi, yi) est l'exercice type de fin de programme, souvent suivi d'une question de synthèse sur corrélation et causalité. Piège classique : confondre r et R², ou affirmer qu'une corrélation prouve une relation de cause à effet.