Certaines situations biologiques suivent des schémas de hasard qui reviennent sans cesse : un caractère présent ou absent répété N fois, un événement rare compté sur une période, une mesure continue dispersée autour d'une moyenne. Ce chapitre présente les trois lois de probabilité qui modélisent ces situations — binomiale, Poisson, normale — et la table de la loi normale centrée réduite, outil indispensable pour l'estimation et les tests des chapitres suivants.
1. La loi binomiale
La loi binomiale B(n, p) modélise le nombre de succès obtenus en répétant n fois, de façon indépendante, une expérience à deux issues (succès / échec) dont la probabilité de succès p reste constante à chaque répétition — une épreuve de Bernoulli. C'est le cas d'un caractère qualitatif à deux modalités observé sur n individus indépendants (présence ou absence d'une maladie, germination ou non d'une graine). Son espérance vaut E(X) = np et sa variance V(X) = np(1 − p) ; la loi est symétrique lorsque p est proche de 0,5 et devient dissymétrique lorsque p s'écarte de 0,5. Le cas particulier n = 1 correspond à une simple épreuve de Bernoulli de paramètre p ; la loi binomiale peut être vue comme la somme de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.
2. La loi de Poisson
La loi de Poisson de paramètre λ modélise le nombre d'événements rares et indépendants survenant dans un intervalle de temps, d'espace ou de volume fixé, quand ces événements se produisent à un taux moyen constant (nombre de colonies bactériennes par boîte, nombre de mutations par génome, nombre de parasites par champ microscopique). Sa particularité est que son espérance et sa variance sont égales : E(X) = V(X) = λ. Elle peut être vue comme une approximation de la loi binomiale lorsque n est grand et p petit, avec λ = np. Contrairement à la loi binomiale, la loi de Poisson ne dépend que d'un seul paramètre λ, ce qui simplifie les calculs dès que le contexte biologique justifie l'hypothèse d'événements rares et indépendants.
3. La loi normale (loi de Gauss)
La loi normale N(μ, σ) est la loi de référence pour les variables quantitatives continues issues de nombreuses causes indépendantes qui s'additionnent (taille, poids, concentration sanguine). Sa courbe, dite courbe en cloche, est symétrique autour de la moyenne μ, qui coïncide avec le mode et la médiane ; son écart-type σ détermine son étalement. Une propriété centrale à retenir : environ 68 % des valeurs se situent dans l'intervalle [μ − σ, μ + σ], environ 95 % dans [μ − 2σ, μ + 2σ] et la quasi-totalité dans [μ − 3σ, μ + 3σ].
4. La variable centrée réduite et la table de la loi normale
Comme il existe une infinité de lois normales, une par couple (μ, σ), on ramène tout calcul à une seule loi de référence, la loi normale centrée réduite N(0, 1), grâce au changement de variable Z = (X − μ) / σ. La variable Z a pour moyenne 0 et pour écart-type 1 ; les probabilités associées à Z se lisent directement dans la table de la loi normale, ce qui évite de recalculer l'intégrale de la courbe de Gauss à chaque exercice. Cette standardisation est la clé de tous les calculs de probabilité et d'intervalle de confiance qui suivent.
5. Passer d'une loi à l'autre : les approximations usuelles
Ces trois lois ne sont pas isolées : sous certaines conditions, on remplace une loi complexe à calculer par une loi plus simple, sans perte importante de précision. La loi binomiale B(n, p) est approchée par la loi de Poisson de paramètre λ = np lorsque n est grand et p petit (événement rare) ; elle est approchée par la loi normale N(np, √(np(1 − p))) lorsque n est grand et p ni trop proche de 0 ni de 1. Ces approximations permettent d'utiliser la table de la loi normale même pour des variables discrètes, ce qui est très utile pour les tests d'hypothèses.
Loi de probabilité du nombre de succès sur n répétitions indépendantes d'une épreuve à deux issues de probabilité de succès p constante ; espérance np, variance np(1 − p).
Transformation Z = (X − μ) / σ d'une variable normale X, qui la ramène à une loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1, seule loi tabulée dans la table de Gauss.
| Binomiale B(n, p) | Poisson (λ) | Normale N(μ, σ) | |
|---|---|---|---|
| Type de variable | Discrète | Discrète | Continue |
| Situation type | Succès / échec répété n fois | Événements rares sur un intervalle | Mesure continue, causes multiples |
| Espérance | np | λ | μ |
| Variance | np(1 − p) | λ | σ² |
| Forme de la courbe | Symétrique si p ≈ 0,5 | Dissymétrique si λ petit | Toujours symétrique, en cloche |
Trois lois de probabilité à distinguer
- Loi binomiale B(n, p) : n épreuves indépendantes, deux issues, probabilité p constante ; E(X) = np, V(X) = np(1 − p).
- Loi de Poisson (λ) : événements rares et indépendants ; particularité E(X) = V(X) = λ.
- Loi normale N(μ, σ) : courbe en cloche symétrique ; environ 68 % des valeurs dans [μ − σ, μ + σ], 95 % dans [μ − 2σ, μ + 2σ].
- Variable centrée réduite Z = (X − μ) / σ : ramène toute loi normale à N(0, 1), lue dans la table de Gauss.
- Binomiale ≈ Poisson (n grand, p petit, λ = np) ; binomiale ≈ normale (n grand, p ni trop petit ni trop grand).
Reconnaître, à partir d'un énoncé, la loi appropriée (binomiale, Poisson ou normale) est le premier réflexe attendu, avant tout calcul. La standardisation Z = (X − μ) / σ suivie d'une lecture de table est l'exercice le plus fréquent sur la loi normale. Piège classique : oublier que E(X) = V(X) uniquement pour la loi de Poisson, ou utiliser la table de la loi normale sans avoir centré-réduit la variable au préalable.