Un tableau ou un histogramme montre la répartition d'une variable, mais l'examen exige surtout de savoir la résumer par quelques nombres. Ce chapitre présente les paramètres de position (mode, médiane, moyenne), qui indiquent où se situent les valeurs, et les paramètres de dispersion (étendue, variance, écart-type, coefficient de variation), qui indiquent à quel point elles sont regroupées ou dispersées autour de cette position. C'est la boîte à outils la plus utilisée de tout le module.
1. Les trois paramètres de position
Le mode est la valeur (ou la classe, dite classe modale) la plus fréquente. La médiane Me est la valeur qui partage l'échantillon ordonné en deux effectifs égaux : la moitié des individus lui sont inférieurs, l'autre moitié supérieurs ; elle se lit graphiquement à l'intersection de la courbe des fréquences cumulées et de l'ordonnée 50 %. La moyenne arithmétique x̄ est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Ces trois paramètres coïncident pour une distribution parfaitement symétrique en cloche ; ils se séparent dès que la distribution est asymétrique. Une distribution est dite unimodale si elle ne possède qu'un seul mode, et bimodale si deux classes se disputent l'effectif le plus élevé, ce qui suggère souvent un mélange de deux sous-populations distinctes dans les données.
2. Le calcul de la moyenne
Pour une série de données groupées en valeurs xi d'effectifs ni, la moyenne se calcule par x̄ = (Σ nixi) / N, où N est l'effectif total ; pour une variable continue, xi est remplacé par le centre de chaque classe. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (une seule valeur très grande ou très petite la déplace fortement) : c'est le paramètre le plus utilisé, mais pas toujours le plus représentatif d'une distribution dissymétrique. Il existe aussi une moyenne pondérée, utile lorsque les observations n'ont pas toutes la même importance ; le calcul par tableau d'effectifs en est un cas particulier, chaque valeur étant pondérée par son propre effectif.
3. La médiane et les quartiles
La médiane, contrairement à la moyenne, est peu sensible aux valeurs extrêmes : elle ne dépend que du rang des observations, pas de leur valeur exacte. Elle se généralise aux quartiles (Q1, Q2 = Me, Q3), qui partagent la série ordonnée en quatre effectifs égaux, et à l'intervalle interquartile Q3 − Q1, qui mesure la dispersion de la moitié centrale des observations, insensible lui aussi aux valeurs extrêmes. Pour un effectif N impair, la médiane correspond exactement à l'observation centrale de rang (N + 1) / 2 une fois la série ordonnée ; pour un effectif pair, elle est la moyenne des deux observations centrales de rangs N / 2 et N / 2 + 1.
4. Les paramètres de dispersion
La dispersion décrit à quel point les observations sont éloignées de leur position centrale. L'étendue (valeur maximale moins valeur minimale) est simple mais très sensible aux valeurs extrêmes. La variance V (ou s²) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V = [Σ ni(xi − x̄)²] / N. Elle s'exprime dans le carré de l'unité de la variable, ce qui la rend peu parlante ; on lui préfère l'écart-type σ (ou s), racine carrée de la variance, exprimé dans la même unité que la variable : plus σ est grand, plus les observations sont dispersées autour de la moyenne. Une variance nulle signifie que toutes les observations sont identiques ; à l'inverse, deux échantillons de même moyenne peuvent avoir des écarts-types très différents, ce qui montre que la position centrale seule ne suffit jamais à décrire une distribution.
5. Le coefficient de variation
L'écart-type ne permet pas de comparer la dispersion de deux séries mesurées dans des unités différentes, ou d'ordres de grandeur très différents. Le coefficient de variation CV = (σ / x̄) × 100 exprime l'écart-type en pourcentage de la moyenne : il est sans unité, ce qui rend possible la comparaison de la dispersion relative de deux variables différentes (par exemple le poids et la taille d'un même échantillon), ou de deux échantillons de la même variable dans des conditions différentes.
Racine carrée de la variance ; il mesure la dispersion moyenne des observations autour de la moyenne, dans la même unité que la variable étudiée.
Rapport de l'écart-type à la moyenne, exprimé en pourcentage ; il mesure une dispersion relative et permet de comparer des séries d'unités différentes.
| Moyenne | Médiane | |
|---|---|---|
| Calcul | Somme des valeurs / effectif | Valeur centrale de la série ordonnée |
| Sensibilité aux valeurs extrêmes | Forte | Faible |
| Distribution symétrique | ≈ médiane | ≈ moyenne |
| Distribution très asymétrique | Déplacée vers la queue | Reste centrale |
Moyenne et médiane face aux valeurs extrêmes
- Mode, médiane et moyenne : trois paramètres de position ; ils coïncident seulement pour une distribution symétrique.
- Moyenne x̄ = (Σ n<sub>i</sub>x<sub>i</sub>) / N, sensible aux valeurs extrêmes ; médiane peu sensible.
- Variance V = moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; écart-type σ = racine carrée de V, même unité que la variable.
- Coefficient de variation CV = (σ / x̄) × 100 : dispersion relative, sans unité, utile pour comparer deux séries différentes.
- Intervalle interquartile Q3 − Q1 : dispersion de la moitié centrale, insensible aux valeurs extrêmes.
Le calcul de moyenne, variance et écart-type sur un petit tableau d'effectifs est l'exercice classique de l'examen, souvent suivi d'une question sur le coefficient de variation pour comparer deux échantillons. Piège fréquent : oublier de diviser par l'effectif total N et non par le nombre de classes, ou confondre variance (unité au carré) et écart-type (unité de la variable).