Après avoir décrit un échantillon et posé les bases des probabilités, la statistique inférentielle cherche à remonter de l'échantillon vers la population dont il est issu. Ce chapitre explique pourquoi la moyenne d'un échantillon varie d'un échantillon à l'autre (théorème central limite), puis comment estimer un paramètre de population par une valeur unique ou, mieux, par un intervalle de confiance — la question la plus posée aux examens de Biostatistique S6.
1. La distribution d'échantillonnage de la moyenne
Si l'on tire successivement plusieurs échantillons aléatoires de même taille n dans une population, la moyenne x̄ calculée sur chaque échantillon varie d'un tirage à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. L'ensemble de ces valeurs possibles de x̄, avec leur probabilité, constitue la distribution d'échantillonnage de la moyenne. Sa moyenne est égale à la moyenne μ de la population, et son écart-type, appelé erreur standard, vaut σ / √n : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne x̄ estime précisément μ, et l'erreur standard diminue. Ce raisonnement ne se limite pas à la moyenne : on peut de la même façon construire une distribution d'échantillonnage pour une proportion ou pour une variance, chacune ayant sa propre erreur standard.
2. Le théorème central limite
Le théorème central limite est le résultat le plus important de ce chapitre : quelle que soit la loi suivie par la variable étudiée dans la population, la distribution d'échantillonnage de la moyenne x̄ tend vers une loi normale N(μ, σ / √n) lorsque la taille n de l'échantillon augmente suffisamment. C'est ce théorème qui justifie l'usage de la loi normale et de sa table pour construire des intervalles de confiance et des tests, même quand la variable de départ n'est pas normale. En pratique, les enseignants considèrent souvent qu'un échantillon est assez grand pour appliquer ce théorème dès que sa taille n dépasse une trentaine d'individus, même si l'approximation reste d'autant meilleure que la distribution de départ est elle-même proche d'une forme symétrique.
3. L'estimation ponctuelle
Estimer un paramètre de la population, c'est en donner une valeur approchée à partir de l'échantillon. L'estimation ponctuelle propose une seule valeur : la moyenne de l'échantillon x̄ pour estimer la moyenne μ de la population, la proportion observée f pour estimer la proportion p, et la variance corrigée de l'échantillon (division par n − 1 et non par n) pour estimer sans biais la variance σ² de la population — cette correction, souvent oubliée, distingue l'estimation de la simple description. Un bon estimateur est dit sans biais lorsque sa valeur moyenne, sur l'ensemble des échantillons possibles, est égale au paramètre de population qu'il vise à estimer ; c'est précisément la raison d'être de la division par n − 1 dans la variance corrigée.
4. L'intervalle de confiance de la moyenne
Une estimation ponctuelle ne dit rien sur sa précision : on lui préfère un intervalle de confiance, une fourchette de valeurs qui a une probabilité connue (le niveau de confiance, souvent 95 %) de contenir le vrai paramètre de la population. Pour la moyenne, l'intervalle de confiance s'écrit x̄ ± z × (σ / √n) lorsque l'écart-type de la population est connu ou l'échantillon assez grand, z étant la valeur lue dans la table de la loi normale correspondant au niveau de confiance choisi (par exemple 1,96 pour 95 %). Plus l'échantillon est grand, plus l'erreur standard diminue et plus l'intervalle se resserre.
5. L'intervalle de confiance d'une proportion
Pour une variable qualitative à deux modalités, on estime la proportion p de la population par la fréquence observée f dans l'échantillon. L'intervalle de confiance de la proportion se construit sur le même principe : f ± z × √(f(1 − f) / n), en s'appuyant sur l'approximation de la loi binomiale par la loi normale vue au chapitre précédent, valable lorsque l'échantillon est suffisamment grand.
Écart-type de la distribution d'échantillonnage de la moyenne, égal à σ / √n ; il mesure la précision de la moyenne d'échantillon comme estimation de la moyenne de population.
Fourchette de valeurs, construite à partir d'un échantillon, qui a une probabilité donnée (le niveau de confiance) de contenir le vrai paramètre de la population.
| Paramètre de population | Estimation ponctuelle | Intervalle de confiance (grand échantillon) |
|---|---|---|
| Moyenne μ | x̄ | x̄ ± z × σ / √n |
| Proportion p | f (fréquence observée) | f ± z × √(f(1 − f) / n) |
| Variance σ² | Variance corrigée (division par n − 1) | — |
De l'estimation ponctuelle à l'intervalle de confiance
- La moyenne d'échantillon x̄ fluctue d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage, d'écart-type σ / √n.
- Théorème central limite : x̄ suit approximativement une loi normale N(μ, σ / √n) quand n est assez grand.
- Estimation ponctuelle : x̄ pour μ, f pour p ; la variance corrigée (n − 1) estime sans biais σ².
- Intervalle de confiance de la moyenne : x̄ ± z × (σ / √n), avec z lu dans la table normale selon le niveau de confiance.
- Plus n augmente, plus l'erreur standard diminue et plus l'intervalle de confiance se resserre.
Le calcul complet d'un intervalle de confiance de la moyenne (ou d'une proportion) à partir d'un échantillon donné est l'exercice type de ce chapitre, presque systématique en session. Piège classique : diviser par n au lieu de n − 1 dans le calcul de la variance corrigée, ou oublier de diviser σ par √n dans la formule de l'erreur standard.