Les courants électriques créent des champs magnétiques et subissent des forces lorsqu'ils y sont plongés. Ce chapitre présente les sources du champ magnétique, la loi de Biot et Savart et ses applications, la force de Lorentz sur une particule chargée, la force de Laplace sur un conducteur, puis une ouverture sur l'induction. Il clôt le programme d'électricité du S2 et alimente les questions de cours de fin d'épreuve.
1. Le champ magnétique et ses sources
Le champ magnétique B, mesuré en teslas (T), est créé par les aimants permanents et par les charges en mouvement, donc par les courants. Contrairement au champ électrique, il n'existe pas de charge magnétique isolée : les lignes de champ sont toujours fermées, elles sortent du pôle nord d'un aimant et rentrent par le pôle sud, et le flux de B à travers toute surface fermée est nul. Les ordres de grandeur à connaître : quelques 10-5 T pour le champ terrestre, de l'ordre du tesla pour l'entrefer d'un électroaimant ou d'un appareil d'IRM. Comme le champ électrique, B obéit au principe de superposition, mais c'est un vecteur axial : il est perpendiculaire à tout plan de symétrie de la distribution de courants et contenu dans tout plan d'antisymétrie, l'inverse exact du champ E.
2. Loi de Biot et Savart et champs usuels
Un élément de circuit dl parcouru par un courant I crée en M, à la distance r, le champ élémentaire dB = (μ0/4π) I dl ∧ u / r², où u est le vecteur unitaire de l'élément vers M et μ0 = 4π×10-7 T·m·A-1 la perméabilité du vide ; le champ total s'obtient en intégrant sur tout le circuit. Le sens de B se trouve par la règle de la main droite ou du tire-bouchon. Trois résultats sont exigibles : le fil rectiligne infini crée à la distance r un champ orthoradial B = μ0I/(2πr), dont les lignes sont des cercles centrés sur le fil ; une spire circulaire de rayon R crée en son centre B = μ0I/(2R), perpendiculaire au plan de la spire ; un solénoïde long comportant n spires par mètre crée à l'intérieur un champ uniforme B = μ0 n I, parallèle à l'axe, et pratiquement nul à l'extérieur. Le théorème d'Ampère, analogue magnétique du théorème de Gauss, affirme que la circulation de B sur un contour fermé vaut μ0 fois le courant enlacé, et redonne rapidement ces résultats.
3. Force de Lorentz et mouvement d'une charge
Une particule de charge q et de vitesse v placée dans un champ magnétique B subit la force de Lorentz F = q v ∧ B, de norme |q| v B sin α ; en présence d'un champ électrique, la force totale est F = q(E + v ∧ B). La force est perpendiculaire à la fois à v et à B : elle ne travaille pas, donc ne modifie pas la norme de la vitesse ni l'énergie cinétique, elle ne fait que courber la trajectoire. Une charge lancée perpendiculairement à un champ uniforme décrit un cercle de rayon R = m v/(|q| B) avec la période T = 2πm/(|q| B), indépendante de la vitesse ; lancée obliquement, elle décrit une hélice. Ces résultats sont à la base du spectromètre de masse, du cyclotron et du filtre de vitesse, où l'équilibre q E = q v B sélectionne les particules de vitesse v = E/B.
Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant : dF = I dl ∧ B pour un élément de longueur dl, soit F = I L ∧ B pour un conducteur rectiligne de longueur L dans un champ uniforme, de norme I L B sin α. C'est la résultante des forces de Lorentz sur les porteurs de charge.
4. Loi de Laplace et applications
La force de Laplace F = I L ∧ B est perpendiculaire au conducteur et au champ ; elle est maximale quand ils sont perpendiculaires et nulle quand ils sont parallèles. Le sens se détermine par la règle des trois doigts de la main droite (courant, champ, force). Un cadre rectangulaire parcouru par un courant et plongé dans un champ uniforme subit une résultante nulle mais un couple Γ = M ∧ B, où M = I S n est le moment magnétique du cadre (n normale orientée par le sens du courant) : ce couple tend à aligner M sur B et fait tourner le cadre, principe du moteur électrique et du galvanomètre. Deux fils parallèles parcourus par des courants de même sens s'attirent, de sens contraires se repoussent, avec une force par unité de longueur μ0I1I2/(2πd) : c'est la définition historique de l'ampère. Le travail des forces de Laplace lors d'un déplacement du circuit vaut W = I ΔΦ, où Φ = ∬ B·dS est le flux magnétique (en webers, Wb) à travers le circuit : le circuit se déplace de façon à embrasser un flux maximal.
5. Ouverture : l'induction électromagnétique
Réciproquement, toute variation du flux magnétique à travers un circuit y fait apparaître une force électromotrice induite : c'est la loi de Faraday, e = −dΦ/dt. Le signe négatif traduit la loi de Lenz : le courant induit s'oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance. Un conducteur de longueur L qui se déplace à la vitesse v perpendiculairement à B est le siège d'une fém e = B L v (rails de Laplace). L'induction est le principe des alternateurs, des transformateurs, des plaques à induction et des capteurs de vitesse ; elle est aussi à l'origine de l'auto-induction, e = −L dI/dt, qui retarde l'établissement du courant dans une bobine. En biologie, on la retrouve dans la magnétoencéphalographie et dans l'IRM, où un champ magnétique intense aligne les moments magnétiques des protons de l'eau.
| Situation | Formule | Direction |
|---|---|---|
| Fil rectiligne infini | B = μ₀I/(2πr) | Orthoradiale (cercles autour du fil) |
| Centre d'une spire de rayon R | B = μ₀I/(2R) | Axe de la spire |
| Solénoïde (n spires/m) | B = μ₀nI | Axe, uniforme à l'intérieur |
| Force de Lorentz | F = q v ∧ B | ⊥ à v et B, ne travaille pas |
| Force de Laplace | F = I L ∧ B | ⊥ au conducteur et à B |
| Charge dans B uniforme | R = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B) | Cercle ou hélice |
Champs magnétiques usuels et forces
- B (tesla) est créé par les courants et les aimants ; lignes de champ fermées, pas de monopôle magnétique.
- Biot et Savart : dB = (μ₀/4π) I dl ∧ u/r² avec μ₀ = 4π×10⁻⁷ SI ; fil : μ₀I/(2πr), spire : μ₀I/(2R), solénoïde : μ₀nI.
- Lorentz : F = q v ∧ B ne travaille pas ; trajectoire circulaire de rayon R = mv/(|q|B).
- Laplace : F = I L ∧ B ; couple sur un cadre Γ = M ∧ B avec M = I S n ; W = I ΔΦ.
- Faraday-Lenz : e = −dΦ/dt, le courant induit s'oppose à la variation de flux.
Les questions portent surtout sur le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme (montrer que le mouvement est circulaire uniforme, calculer R et T) et sur la force de Laplace exercée sur une barre ou un cadre, avec son sens. Le piège récurrent est le produit vectoriel : respecte l'ordre v ∧ B ou L ∧ B et n'oublie pas le signe de la charge. Rappelle-toi que la force de Lorentz ne travaille jamais, ce qui justifie que la vitesse garde une norme constante.