L'approche énergétique est souvent le moyen le plus rapide de résoudre un problème de mécanique sans intégrer d'équation différentielle. Ce chapitre définit le travail et la puissance, énonce le théorème de l'énergie cinétique, introduit les forces conservatives et l'énergie potentielle, et termine par l'oscillateur harmonique masse-ressort, l'exemple que les examens du S2 réclament presque chaque année.
1. Travail et puissance d'une force
Le travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dl est le produit scalaire δW = F·dl ; le travail entre A et B est l'intégrale curviligne WAB = ∫AB F·dl, exprimée en joules (J). Pour une force constante sur un déplacement rectiligne AB, W = F·AB = F × AB × cos α. Le travail est moteur si α < 90° (W > 0), résistant si α > 90° (W < 0), nul si la force est perpendiculaire au déplacement, comme la réaction normale d'un support ou la tension d'un pendule. La puissance est le travail fourni par unité de temps : P = δW/dt = F·v, en watts (W).
2. Énergie cinétique et son théorème
L'énergie cinétique d'un point matériel de masse m et de vitesse v est Ec = ½ m v². Le théorème de l'énergie cinétique découle directement du PFD : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique entre deux positions est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées, ΔEc = Ec(B) − Ec(A) = ΣWAB(F). Ce théorème est scalaire, il s'applique à toutes les forces (conservatives ou non) et il est particulièrement efficace pour calculer une vitesse en un point sans connaître le détail du mouvement, par exemple la vitesse en bas d'une pente avec frottement.
3. Forces conservatives et énergie potentielle
Une force est conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi ; son travail sur un contour fermé est alors nul. On peut alors lui associer une énergie potentielle Ep telle que WAB = Ep(A) − Ep(B) = −ΔEp, ou localement F = −grad Ep. L'énergie potentielle est définie à une constante près, fixée par le choix d'une origine. Les exemples à connaître : pesanteur, Ep = m g z + cte avec l'axe Oz vertical ascendant ; ressort, Ep = ½ k x² avec x l'allongement ; gravitation et force de Coulomb, Ep = −G m1m2/r et Ep = q1q2/(4πε0r). Les frottements ne sont pas conservatifs : leur travail, toujours négatif, dépend de la longueur du chemin parcouru.
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle : Em = Ec + Ep. Elle se conserve lorsque seules des forces conservatives travaillent ; sinon ΔEm est égale au travail des forces non conservatives (frottements), qui est négatif.
4. Conservation de l'énergie mécanique
En combinant le théorème de l'énergie cinétique et la définition de l'énergie potentielle, on obtient ΔEm = WAB(forces non conservatives). Si ces forces ne travaillent pas, Em = constante : c'est l'intégrale première de l'énergie. Exemple : une bille lâchée sans vitesse d'une hauteur h atteint le sol avec v = √(2gh), quelle que soit la forme du toboggan sans frottement. La courbe Ep(x) permet une discussion qualitative : les positions d'équilibre stable sont les minima de Ep (dEp/dx = 0 et d²Ep/dx² > 0), les maxima sont des équilibres instables, et le mouvement n'est possible que là où Em ≥ Ep(x) (puits de potentiel, états liés).
5. L'oscillateur harmonique masse-ressort
Une masse m accrochée à un ressort horizontal de raideur k, sans frottement, est soumise à la force de rappel −k x. Le PFD projeté sur l'axe donne m ẍ = −k x, soit ẍ + ω0² x = 0 avec ω0 = √(k/m). La solution est x(t) = Xm cos(ω0t + φ), de période propre T0 = 2π√(m/k) : plus le ressort est raide, plus l'oscillation est rapide ; plus la masse est grande, plus elle est lente. Sur le plan énergétique, Em = ½ m v² + ½ k x² = ½ k Xm² est constante : l'énergie passe alternativement de la forme cinétique (au passage par x = 0) à la forme potentielle (aux extrémités). Le ressort vertical se traite de la même façon autour de la position d'équilibre xéq = m g/k, avec la même période. En présence d'un frottement fluide −αv, l'équation devient ẍ + (α/m) ẋ + ω0² x = 0 et l'amplitude décroît exponentiellement : régime pseudo-périodique, critique ou apériodique selon l'amortissement.
| Force | Expression de la force | Énergie potentielle |
|---|---|---|
| Pesanteur (Oz ascendant) | P = −m g e_z | E_p = m g z + cte |
| Ressort | F = −k x | E_p = ½ k x² |
| Gravitation | F = −G m₁m₂/r² | E_p = −G m₁m₂/r |
| Coulomb | F = q₁q₂/(4πε₀r²) | E_p = q₁q₂/(4πε₀r) |
| Frottements | opposés à v | Pas d'énergie potentielle (non conservative) |
Énergies potentielles à connaître
- W_AB = ∫ F·dl ; P = F·v ; une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.
- Théorème de l'énergie cinétique : ΔE_c = ΣW de toutes les forces.
- Force conservative ⇔ travail indépendant du chemin ⇔ W = −ΔE_p, F = −grad E_p.
- E_m = E_c + E_p se conserve sans frottement ; ΔE_m = W(frottements) < 0 sinon.
- Masse-ressort : ẍ + (k/m)x = 0, T₀ = 2π√(m/k), E_m = ½ k X_m².
Deux formats reviennent sans cesse : calculer une vitesse par le théorème de l'énergie cinétique (avec ou sans frottement sur un plan incliné), et établir l'équation différentielle d'un oscillateur puis identifier ω₀ et T₀. Piège classique : oublier que le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude, ou se tromper de signe dans E_p = m g z quand l'axe est orienté vers le bas. Vérifie toujours que ta période est en secondes et que k/m a bien la dimension d'une pulsation au carré.