Le théorème de Gauss permet de calculer un champ électrostatique en quelques lignes lorsque la distribution de charges est très symétrique. Ce chapitre l'applique à la sphère, au fil et au plan chargés, puis étudie les conducteurs en équilibre et le condensateur, composant que l'on retrouve ensuite dans tous les circuits. Gauss et les associations de condensateurs sont deux questions de cours quasi certaines au S2.
1. Flux du champ et théorème de Gauss
Le flux du champ E à travers une surface S est Φ = ∬ E·dS, où dS = dS n est le vecteur surface élémentaire, n étant la normale, orientée vers l'extérieur pour une surface fermée. Le flux se mesure en V·m. Le théorème de Gauss affirme que le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée quelconque est égal à la somme des charges intérieures divisée par ε0 : Φ = ∯ E·dS = Qint/ε0. Les charges extérieures ne contribuent pas au flux total, même si elles modifient le champ local. Ce théorème est une conséquence de la loi de Coulomb en 1/r² et de l'additivité des champs.
La méthode d'application se déroule en trois temps : (1) analyser les symétries de la distribution pour connaître la direction du champ et les variables dont il dépend ; (2) choisir une surface de Gauss fermée passant par le point M, sur laquelle E est soit normal et de norme constante, soit tangent (flux nul) ; (3) calculer le flux et la charge intérieure, puis isoler E. Le choix de la surface de Gauss est l'étape que le correcteur regarde.
2. Applications classiques du théorème de Gauss
Sphère de rayon R uniformément chargée en volume (charge Q) : à l'extérieur (r > R), E = Q/(4πε0r²), comme si toute la charge était au centre ; à l'intérieur (r < R), E = Q r/(4πε0R³), linéaire en r et nul au centre. Pour une sphère chargée en surface, E est nul à l'intérieur. Fil rectiligne infini de densité linéique λ : surface de Gauss cylindrique de rayon r et de hauteur h, d'où E = λ/(2πε0r), radial et décroissant en 1/r. Plan infini de densité surfacique σ : cylindre traversant le plan, d'où E = σ/(2ε0), uniforme et perpendiculaire au plan, indépendant de la distance. Deux plans parallèles portant +σ et −σ créent entre eux un champ uniforme E = σ/ε0 et un champ nul à l'extérieur : c'est le modèle du condensateur plan.
3. Les conducteurs en équilibre électrostatique
Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque ses charges libres ne se déplacent plus. Il en découle une série de propriétés à connaître par cœur : le champ est nul à l'intérieur (sinon les charges libres seraient mises en mouvement) ; le potentiel est constant dans tout le volume et sur la surface, qui est donc une équipotentielle ; d'après Gauss, la charge volumique intérieure est nulle et toute charge excédentaire se répartit en surface avec la densité σ ; au voisinage immédiat de la surface, le champ est normal et vaut E = σ/ε0 n (théorème de Coulomb). Chaque élément de surface subit une pression électrostatique P = σ²/(2ε0) dirigée vers l'extérieur. Une cavité vide dans un conducteur est un espace sans champ, quelle que soit l'agitation électrique extérieure : c'est la cage de Faraday, principe des blindages. Enfin, la densité σ est plus élevée là où le rayon de courbure est petit : c'est l'effet de pointe, exploité par le paratonnerre.
Rapport C = Q/V entre la charge portée par le conducteur et son potentiel ; elle ne dépend que de la géométrie. Unité : le farad (F). Une sphère de rayon R a pour capacité C = 4πε0R.
4. Le condensateur
Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs, les armatures, en influence totale : toutes les lignes de champ issues de l'une aboutissent sur l'autre, de sorte que les armatures portent des charges opposées +Q et −Q. Sa capacité est C = Q/U, où U = V1 − V2 est la tension entre armatures. Pour le condensateur plan d'armatures de surface S séparées de e, le champ intérieur E = σ/ε0 et U = E e conduisent à C = ε0S/e ; avec un diélectrique de permittivité relative εr, la capacité est multipliée par εr. Le condensateur emmagasine l'énergie électrostatique W = ½ Q U = ½ C U² = Q²/(2C). Un conducteur isolé possède de même l'énergie W = ½ C V².
5. Associations de condensateurs
En parallèle, les condensateurs sont soumis à la même tension U et leurs charges s'ajoutent : Q = Q1 + Q2, d'où la capacité équivalente Céq = C1 + C2, toujours supérieure à la plus grande. En série, les condensateurs portent la même charge Q (influence de proche en proche) et les tensions s'ajoutent : U = U1 + U2, d'où 1/Céq = 1/C1 + 1/C2, toujours inférieure à la plus petite. Deux condensateurs identiques C en série donnent C/2, en parallèle 2C. Ces règles sont l'inverse exact de celles des résistances, ce qui en fait un piège classique.
| Distribution | Surface de Gauss | Champ | Dépendance |
|---|---|---|---|
| Sphère (Q), extérieur | Sphère de rayon r | E = Q/(4πε₀r²) | 1/r² |
| Sphère volumique, intérieur | Sphère de rayon r < R | E = Qr/(4πε₀R³) | linéaire en r |
| Fil infini (λ) | Cylindre rayon r, hauteur h | E = λ/(2πε₀r) | 1/r |
| Plan infini (σ) | Cylindre traversant le plan | E = σ/(2ε₀) | uniforme |
| Surface d'un conducteur | Petit cylindre à cheval | E = σ/ε₀ (Coulomb) | uniforme, normal |
Résultats du théorème de Gauss à retenir
- Gauss : flux de E à travers une surface fermée = Q_int/ε₀ ; choisir une surface adaptée aux symétries.
- Sphère : E extérieur en 1/r², intérieur linéaire (volumique) ou nul (surfacique) ; fil : 1/r ; plan : σ/(2ε₀).
- Conducteur en équilibre : E = 0 et V constant à l'intérieur, charges en surface, E = σ/ε₀ à la surface.
- Condensateur : C = Q/U ; plan : C = ε₀ε_r S/e ; énergie W = ½ C U².
- Parallèle : C_éq = ΣC ; série : 1/C_éq = Σ1/C (inverse des résistances).
La question de cours favorite : énoncer le théorème de Gauss puis l'appliquer à la sphère ou au fil infini, en justifiant la surface choisie par les symétries. En exercice, on demande la capacité équivalente d'un réseau de condensateurs puis la charge et la tension de chacun, avant de calculer l'énergie stockée. Retiens que dans une branche série la charge est commune, en parallèle c'est la tension, et n'inverse pas les formules avec celles des résistances.