Électrocinétique : courant, loi d'Ohm et lois de Kirchhoff

L'électrocinétique étudie les charges en mouvement dans les circuits en régime permanent. Ce chapitre définit le courant et la résistance, énonce la loi d'Ohm sous ses formes locale et macroscopique, décrit générateurs et récepteurs, puis donne les lois de Kirchhoff qui permettent de résoudre n'importe quel réseau. C'est la partie la plus calculatoire de l'examen d'électricité, et celle qui rapporte le plus de points quand la méthode est maîtrisée.

1. Courant électrique et densité de courant

Le courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charge : électrons libres dans les métaux, ions dans les électrolytes, le milieu biologique en étant un exemple. L'intensité I = dQ/dt est la charge qui traverse une section du conducteur par unité de temps, en ampères (A). Par convention, le sens du courant est celui des charges positives, donc opposé au déplacement des électrons. Le vecteur densité de courant j = n q v, avec n le nombre de porteurs par unité de volume, q leur charge et v leur vitesse d'ensemble, s'exprime en A·m^-2 ; l'intensité est son flux à travers la section, I = ∬ j·dS, soit I = jS pour une répartition uniforme. En régime permanent, l'intensité est la même en tout point d'une branche sans dérivation.

2. Loi d'Ohm et résistance

Dans un conducteur ohmique, la densité de courant est proportionnelle au champ électrique : j = γ E (loi d'Ohm locale), γ étant la conductivité (S·m^-1) et η = 1/γ la résistivité (Ω·m). En intégrant sur un conducteur cylindrique de longueur l et de section S, on obtient la loi d'Ohm macroscopique U = V_A − V_B = R I, avec la résistance R = η l/S en ohms (Ω). Un fil deux fois plus long a une résistance double, un fil de section double une résistance moitié. La résistance des métaux augmente avec la température. Une résistance parcourue par I dissipe par effet Joule la puissance P = U I = R I² = U²/R, en watts, transformée en chaleur : c'est le principe du chauffage électrique, mais aussi la cause des pertes en ligne.

Les associations de résistances suivent des règles opposées à celles des condensateurs. En série (même courant), les tensions s'ajoutent : R_éq = R₁ + R₂ + … En parallèle (même tension), les courants s'ajoutent : 1/R_éq = 1/R₁ + 1/R₂ + …, et pour deux résistances R_éq = R₁R₂/(R₁ + R₂). Le diviseur de tension (série) donne U₁ = U R₁/(R₁ + R₂), le diviseur de courant (parallèle) I₁ = I R₂/(R₁ + R₂).

3. Générateurs et récepteurs

Un courant permanent exige une source d'énergie qui entretient la circulation des charges : le générateur, caractérisé par sa force électromotrice (fém) E en volts, énergie fournie par unité de charge, et sa résistance interne r. En convention générateur, la tension à ses bornes est U = E − r I : elle vaut E à vide et diminue quand le courant débité augmente ; le courant de court-circuit est E/r. La puissance fournie au circuit extérieur est P = U I = E I − r I². Un récepteur (moteur, électrolyseur, batterie en charge) convertit l'énergie électrique en une autre forme ; il est caractérisé par sa force contre-électromotrice E' et sa résistance interne r', avec U = E' + r' I. La loi d'Ohm généralisée pour une branche AB contenant résistances et sources s'écrit V_A − V_B = ΣR I − ΣE, les fém étant comptées positivement lorsqu'elles poussent le courant dans le sens choisi. La loi de Pouillet pour un circuit à une seule maille donne I = ΣE/ΣR.

4. Les lois de Kirchhoff

Dans un réseau, on appelle nœud un point commun à plus de deux dipôles, branche une portion de circuit entre deux nœuds consécutifs, maille un contour fermé. La loi des nœuds traduit la conservation de la charge : la somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme de celles qui en partent, ΣI_entrants = ΣI_sortants. La loi des mailles traduit le caractère conservatif du champ : la somme algébrique des tensions le long d'une maille est nulle, Σ(R_kI_k) − ΣE_k = 0, chaque terme étant compté positivement s'il est rencontré dans le sens de parcours choisi. Méthode : orienter arbitrairement les courants dans chaque branche, écrire (n − 1) lois des nœuds pour n nœuds, compléter avec des lois des mailles indépendantes jusqu'à avoir autant d'équations que d'inconnues, résoudre. Un courant trouvé négatif circule simplement dans le sens opposé à celui choisi.

5. Théorème de Thévenin

Pour calculer le courant dans une seule branche d'un réseau compliqué, le théorème de Thévenin remplace tout le reste du circuit, vu depuis les bornes A et B de cette branche, par un générateur équivalent de fém E_Th, égale à la tension à vide U_AB lorsque la branche est débranchée, et de résistance interne R_Th, résistance vue entre A et B lorsque toutes les fém sont remplacées par des courts-circuits. Le courant dans la branche de résistance R vaut alors I = E_Th/(R_Th + R). Cette méthode évite un système de plusieurs équations et permet de discuter facilement l'influence de R.