La dynamique relie le mouvement à ses causes, les forces. Ce chapitre présente les trois lois de Newton, dresse l'inventaire des forces usuelles et montre comment appliquer le principe fondamental de la dynamique à un problème concret. C'est la méthode que le correcteur attend, étape par étape, dans chaque exercice de mécanique.
1. Notion de force et principe d'inertie
Une force est une action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer ; c'est un vecteur (point d'application, direction, sens, intensité en newton, N). La première loi de Newton, ou principe d'inertie, affirme qu'il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point matériel isolé ou pseudo-isolé (somme des forces nulle) est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre est considéré galiléen pour les expériences de laboratoire de courte durée ; tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.
2. Le principe fondamental de la dynamique
La deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique, PFD) s'écrit, dans un référentiel galiléen : ΣF = m a, ou de manière plus générale ΣF = dp/dt avec p = m v la quantité de mouvement (kg·m·s-1). La masse m, appelée masse inerte, mesure la résistance du corps au changement de vitesse. Le PFD est une équation vectorielle : on la projette sur les axes du repère choisi, ce qui donne deux ou trois équations scalaires, puis on intègre pour obtenir les équations horaires. La troisième loi (action et réaction) affirme que si A exerce sur B la force FA/B, alors B exerce sur A la force FB/A = −FA/B : mêmes droite d'action et intensité, sens opposés. Ces deux forces s'appliquent sur des corps différents et ne se compensent donc jamais.
Référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : un point matériel soumis à des forces de résultante nulle y conserve un mouvement rectiligne uniforme. Le PFD sous la forme ΣF = m a n'est valable que dans un tel référentiel.
3. Les forces usuelles
Le poids P = m g est vertical, dirigé vers le bas, avec g ≈ 9,81 m·s-2 à la surface de la Terre ; il s'applique au centre de gravité. La réaction d'un support R se décompose en une composante normale N, perpendiculaire à la surface, et une composante tangentielle f, la force de frottement. Les lois de Coulomb du frottement solide distinguent le cas statique, où f ≤ μsN (le corps ne glisse pas tant que cette inégalité est vérifiée), et le cas dynamique, où f = μdN, opposée au vecteur vitesse, avec μd ≤ μs. La tension d'un fil inextensible T est dirigée le long du fil, du corps vers le point d'attache ; celle d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 vaut F = −k(l − l0) ex, force de rappel proportionnelle à l'allongement (loi de Hooke). Enfin les frottements fluides sont modélisés par f = −αv aux faibles vitesses, ou −βv² aux vitesses élevées.
À l'échelle du module, on rencontre aussi deux forces à distance : la force gravitationnelle F = G m1m2/r², attractive, avec G ≈ 6,67×10-11 N·m²·kg-2, et la force électrostatique de Coulomb, qui a exactement la même forme en 1/r² mais peut être attractive ou répulsive : elle ouvre la partie électricité du module.
4. Méthode de résolution d'un problème de dynamique
La méthode est toujours la même et le correcteur note chaque étape. (1) Définir le système (le point matériel étudié). (2) Choisir le référentiel, supposé galiléen, et un repère adapté : axes parallèle et perpendiculaire au plan incliné, base de Frenet ou polaire pour un mouvement circulaire. (3) Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma. (4) Écrire le PFD vectoriel puis le projeter sur chaque axe. (5) Résoudre les équations différentielles avec les conditions initiales, puis discuter le résultat (signe, valeur limite, cas particuliers).
5. Deux exemples classiques
Plan incliné d'angle α sans frottement : projection du PFD sur l'axe parallèle à la pente donne m a = m g sin α, donc a = g sin α, indépendante de la masse ; sur l'axe perpendiculaire, N = m g cos α. Avec frottement dynamique, a = g (sin α − μd cos α) ; le corps reste immobile tant que tan α ≤ μs. Pendule simple de longueur l : en base polaire, la projection sur eθ donne m l θ̈ = −m g sin θ, soit θ̈ + (g/l) sin θ = 0. Pour les petites oscillations (sin θ ≈ θ), on retrouve l'oscillateur harmonique de pulsation ω0 = √(g/l) et de période T0 = 2π√(l/g), indépendante de la masse et de l'amplitude. La projection sur eρ donne la tension du fil T = m g cos θ + m l θ̇².
| Force | Expression | Direction et sens |
|---|---|---|
| Poids | P = m g | Verticale, vers le bas |
| Réaction normale | N | Perpendiculaire au support, vers le corps |
| Frottement solide | f ≤ μₛN (statique), f = μ_dN (glissement) | Tangent au support, opposé au mouvement |
| Tension d'un fil | T | Le long du fil, vers le point d'attache |
| Ressort (Hooke) | F = −k(l − l₀) | Le long du ressort, vers la position à vide |
| Frottement fluide | f = −αv ou −βv² | Opposé au vecteur vitesse |
Bilan des forces usuelles
- Première loi : dans un référentiel galiléen, ΣF = 0 ⇔ repos ou mouvement rectiligne uniforme.
- Deuxième loi (PFD) : ΣF = m a = dp/dt, à projeter sur les axes du repère.
- Troisième loi : F_A/B = −F_B/A, deux forces sur deux corps différents.
- Plan incliné sans frottement : a = g sin α ; avec frottement : a = g(sin α − μ_d cos α).
- Pendule simple aux petits angles : T₀ = 2π√(l/g), indépendante de la masse.
Le plan incliné, le pendule et le système de deux masses reliées par un fil passant sur une poulie sont les trois montages les plus fréquents aux examens de Physique 2 des facultés marocaines. Les points sont perdus sur le bilan des forces (réaction oubliée, frottement dans le mauvais sens) et sur la projection du poids : m g sin α sur l'axe de la pente, m g cos α sur la normale. Écris systématiquement le PFD vectoriel avant de projeter.