Électrostatique : charges, loi de Coulomb, champ et potentiel

L'électrostatique étudie les charges au repos et les forces qu'elles exercent. Ce chapitre pose les bases de toute la partie électricité du module : la charge et ses distributions, la loi de Coulomb, le champ électrostatique, le potentiel dont il dérive et la topographie du champ. Les formules qui y sont établies servent dans chaque exercice d'électricité de l'examen de Physique 2.

1. La charge électrique et ses distributions

La matière est faite de noyaux positifs et d'électrons négatifs. La charge électrique, mesurée en coulombs (C), existe sous deux signes : deux charges de même signe se repoussent, deux charges de signes contraires s'attirent. Elle est quantifiée : toute charge est un multiple entier de la charge élémentaire e = 1,6×10^-19 C (charge du proton +e, de l'électron −e), et conservée dans un système isolé. Un corps est neutre lorsque ses charges positives et négatives se compensent. Un conducteur (métaux, solutions ioniques) possède des charges libres capables de se déplacer, un isolant (verre, plastique, bois sec) n'en possède pas.

Une charge ponctuelle est une charge dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées, comme le point matériel en mécanique. Quand la charge est répartie sur un corps, on définit une densité : linéique λ = dq/dl (C·m^-1) pour un fil, surfacique σ = dq/dS (C·m^-2) pour une surface, volumique ρ = dq/dV (C·m^-3) pour un volume. La distribution est dite uniforme lorsque la densité est constante ; la charge totale s'obtient alors par simple produit, par exemple Q = σS pour un disque uniformément chargé.

2. La loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles q₁ et q₂, au repos dans le vide et distantes de r, exercent l'une sur l'autre des forces opposées portées par la droite qui les joint : F_1/2 = k q₁q₂/r² u₁₂, où u₁₂ est le vecteur unitaire dirigé de q₁ vers q₂, et k = 1/(4πε₀) ≈ 9×10⁹ N·m²·C^-2, ε₀ ≈ 8,85×10^-12 F·m^-1 étant la permittivité du vide. Si q₁q₂ > 0 la force est répulsive, sinon attractive. La force de Coulomb obéit au principe de superposition : la force subie par une charge de la part de plusieurs autres est la somme vectorielle des forces exercées par chacune. Elle a la même forme en 1/r² que la gravitation mais elle est considérablement plus intense : à l'échelle atomique, la gravitation est totalement négligeable.

3. Le champ électrostatique

On dit qu'il règne un champ électrostatique E en un point si une charge d'essai q placée en ce point subit une force F = q E. Le champ est donc une propriété de l'espace, indépendante de la charge d'essai ; il s'exprime en V·m^-1 (ou N·C^-1). Une charge ponctuelle q placée en O crée en M, à la distance r, le champ E(M) = q/(4πε₀r²) u, u étant le vecteur unitaire de O vers M : le champ est centrifuge autour d'une charge positive, centripète autour d'une charge négative. Pour un ensemble de N charges, E = Σ E_i (superposition) ; pour une distribution continue, on remplace la somme par une intégrale, E = ∫ dq/(4πε₀r²) u avec dq = λdl, σdS ou ρdV. Les symétries de la distribution simplifient le calcul : le champ appartient à tout plan de symétrie des charges et est perpendiculaire à tout plan d'antisymétrie.

4. Le potentiel électrostatique

La circulation du champ électrostatique entre deux points ne dépend pas du chemin suivi : le champ est conservatif et dérive d'une fonction scalaire, le potentiel V, selon E = −grad V, soit dV = −E·dl. Le potentiel, en volts (V), est défini à une constante près que l'on fixe en imposant V = 0 à l'infini lorsqu'il n'y a pas de charge à l'infini. Une charge ponctuelle crée V(M) = q/(4πε₀r) ; pour plusieurs charges, V = Σ V_i, somme scalaire beaucoup plus simple que la somme vectorielle des champs. La différence de potentiel entre A et B vaut V_A − V_B = ∫_A^B E·dl. L'énergie potentielle d'une charge q placée en un point de potentiel V est E_p = q V, et le travail de la force électrostatique de A à B est W_AB = q(V_A − V_B).

5. Topographie du champ et dipôle

Les lignes de champ partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives ; elles ne se croisent jamais, et leur resserrement signale un champ intense. Le dipôle électrostatique est formé de deux charges opposées +q et −q distantes de d ; on le caractérise par son moment dipolaire p = q d, orienté de −q vers +q, en C·m. À grande distance (r ≫ d), le potentiel décroît en 1/r² : V(M) = p cos θ/(4πε₀r²), et le champ en 1/r³, plus vite que celui d'une charge isolée. Placé dans un champ extérieur uniforme E, le dipôle possède l'énergie potentielle E_p = −p·E et subit un couple Γ = p ∧ E qui tend à l'aligner sur le champ. Ce modèle décrit les molécules polaires comme l'eau, ce qui explique son importance en biologie.