Une lentille est l'association de deux dioptres dont l'un au moins est sphérique : tout ce qui précède se réinvestit ici. Ce chapitre établit la relation de conjugaison des lentilles minces, la notion de vergence en dioptries, le grandissement et les règles d'association. C'est l'outil de base de tous les instruments d'optique et de la correction de la vision.
1. Définitions et types de lentilles
Une lentille est un milieu transparent limité par deux dioptres dont l'un au moins est sphérique ; c'est un système centré dont l'axe joint les centres C1 et C2 des deux dioptres. On note e = S1S2 son épaisseur et R1 = S1C1, R2 = S2C2 ses rayons de courbure. La lentille est dite mince lorsque son épaisseur est négligeable devant |R1|, |R2| et |R1 − R2| : on confond alors S1, S2 et les points principaux en un seul point O, le centre optique, que tout rayon traverse sans être dévié. Les lentilles à bords minces (biconvexe, plan-convexe, ménisque convergent) sont convergentes ; celles à bords épais (biconcave, plan-concave, ménisque divergent) sont divergentes.
2. Vergence et formule des opticiens
En appliquant successivement la relation de conjugaison du dioptre sphérique aux deux faces et en faisant tendre e vers zéro, on obtient la formule des opticiens pour une lentille d'indice n plongée dans l'air : 1/f' = (n − 1)·(1/S1C1 − 1/S2C2). La quantité V = 1/f' est la vergence de la lentille, exprimée en dioptries (δ = m-1) quand f' est en mètres. Une lentille est convergente si V > 0 donc f' > 0, divergente si V < 0 donc f' < 0. Pour une lentille mince dans l'air, les distances focales objet et image sont opposées : f = −f', donc OF = −OF' : les deux foyers sont symétriques par rapport au centre optique.
3. Relations de conjugaison et grandissement
Avec origine au centre optique O, la relation de conjugaison de Descartes s'écrit 1/OA' − 1/OA = 1/f', et le grandissement transversal vaut γ = A'B'/AB = OA'/OA. Avec origine aux foyers, la relation de Newton donne FA·F'A' = f·f' = −f'2 et γ = −f'/FA = −F'A'/f'. Le signe de γ donne le sens de l'image : γ > 0 image droite, γ < 0 image renversée ; sa valeur absolue donne le rapport des tailles. Le signe de OA' donne la nature : image réelle si OA' > 0 (après la lentille), virtuelle si OA' < 0.
Pour une lentille convergente et un objet réel, on retient trois régimes. Objet au-delà de 2f' : image réelle, renversée, plus petite (principe de l'appareil photo). Objet entre 2f' et F : image réelle, renversée, plus grande (objectif de projecteur). Objet entre F et O : image virtuelle, droite et agrandie, c'est le fonctionnement de la loupe. Une lentille divergente donne d'un objet réel une image toujours virtuelle, droite et réduite, située entre F' et O.
4. Constructions graphiques
Trois rayons particuliers permettent de construire l'image B' d'un point objet B : le rayon parallèle à l'axe émerge en passant par F' ; le rayon passant par F émerge parallèlement à l'axe ; le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié. Deux rayons suffisent, le troisième sert de vérification. Pour un rayon quelconque, on utilise les foyers secondaires : tout faisceau incident parallèle converge en un point du plan focal image, et tout faisceau issu d'un point du plan focal objet émerge parallèle. Pour une lentille divergente, on trace en pointillés les prolongements, car les foyers sont virtuels.
5. Association de deux lentilles minces
Pour un système de deux lentilles L1 et L2, on procède par étapes : l'image A1' donnée par L1 sert d'objet à L2, et le grandissement total est le produit des grandissements, γ = γ1·γ2. Si A1' se forme après L2, elle joue le rôle d'objet virtuel pour L2 et sa mesure algébrique est négative. Lorsque les deux lentilles sont accolées, les vergences s'ajoutent : V = V1 + V2, soit 1/f' = 1/f'1 + 1/f'2. La distance entre le foyer image de L1 et le foyer objet de L2 est appelée intervalle optique Δ ; c'est la grandeur clé du microscope.
Lentille dont l'épaisseur est négligeable devant ses rayons de courbure, ce qui permet de confondre ses sommets en un centre optique O que tout rayon traverse sans déviation.
Inverse de la distance focale image, V = 1/f', exprimée en dioptries (δ) ; positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente.
| Position de l'objet | Lentille convergente | Lentille divergente |
|---|---|---|
| Au-delà de 2f' | réelle, renversée, plus petite | virtuelle, droite, plus petite |
| Entre 2f' et F | réelle, renversée, plus grande | virtuelle, droite, plus petite |
| Au foyer F | image rejetée à l'infini | virtuelle, droite, plus petite |
| Entre F et O | virtuelle, droite, plus grande (loupe) | virtuelle, droite, plus petite |
Image d'un objet réel par une lentille mince
- Formule des opticiens : 1/f' = (n − 1)(1/S₁C₁ − 1/S₂C₂) ; vergence V = 1/f' en dioptries.
- Descartes : 1/OA' − 1/OA = 1/f' ; grandissement γ = OA'/OA ; Newton : FA·F'A' = −f'².
- Lentille mince dans l'air : f = −f', les foyers sont symétriques par rapport à O.
- Convergente : bords minces, V > 0 ; divergente : bords épais, V < 0.
- Trois rayons : parallèle → F', par F → parallèle, par O → non dévié.
- Lentilles accolées : les vergences s'additionnent, V = V₁ + V₂.
On te demande presque toujours de placer l'image par le calcul et par la construction, puis de conclure sur sa nature, son sens et sa taille : les deux doivent coïncider, c'est ta vérification. Le piège récurrent est le signe de OA pour un objet réel, qui est négatif avec l'orientation usuelle ; beaucoup d'étudiants perdent tout l'exercice là-dessus. Dans une association, n'oublie pas de repositionner l'origine sur la seconde lentille avant d'écrire la seconde relation de conjugaison.