Un traitement augmente-t-il vraiment le rendement, ou la différence observée n'est-elle que le fruit du hasard de l'échantillonnage ? Les tests d'hypothèses répondent à cette question avec un risque d'erreur contrôlé. Ce chapitre présente la logique générale d'un test, les tests paramétriques sur une moyenne ou une proportion (conformité et comparaison) et le test du khi-deux : c'est la partie la plus valorisée de l'examen de Statistiques S3, car elle mobilise tout le module.
1. Principe d'un test : hypothèses, risques et décision
Un test oppose l'hypothèse nulle H0, hypothèse de « statu quo » ou d'absence d'effet (μ = μ0, p1 = p2, indépendance), à l'hypothèse alternative H1 (μ ≠ μ0 pour un test bilatéral, μ > μ0 ou μ < μ0 pour un test unilatéral). On calcule une statistique de test dont on connaît la loi sous H0, et on rejette H0 si la valeur observée tombe dans la région critique, région de probabilité α sous H0. Le risque de première espèce α (5 % en général, parfois 1 %) est la probabilité de rejeter H0 alors qu'elle est vraie ; le risque de seconde espèce β est la probabilité de ne pas la rejeter alors qu'elle est fausse, et 1 − β est la puissance du test.
Deux points de logique tombent souvent en question de cours. D'abord, ne pas rejeter H0 ne prouve pas H0 : on dit que la différence n'est pas significative au seuil α, sans plus. Ensuite, la p-value (degré de signification) est la probabilité, sous H0, d'observer une valeur au moins aussi extrême que celle obtenue ; on rejette H0 si p-value < α. Les logiciels donnent la p-value ; à l'examen on compare la statistique observée à la valeur critique lue dans la table.
2. La démarche en cinq étapes
Tout test se rédige de la même façon : (1) formuler H0 et H1 et préciser si le test est uni- ou bilatéral ; (2) choisir le test et vérifier ses conditions d'application (normalité, taille d'échantillon, effectifs théoriques ≥ 5, indépendance des échantillons) ; (3) fixer α et lire la valeur critique (z, t, χ2) dans la table ; (4) calculer la statistique observée ; (5) conclure en comparant les deux, puis traduire la décision en termes biologiques (« au seuil de 5 %, le traitement modifie significativement le rendement »). Un test sans conclusion rédigée dans le contexte de l'énoncé perd la moitié des points.
3. Tests de conformité d'une moyenne et d'une proportion
On compare la moyenne observée x̄ d'un échantillon à une valeur de référence μ0 (H0 : μ = μ0). Si σ est connu ou n ≥ 30, la statistique z = (x̄ − μ0) / (σ/√n) suit N(0, 1) sous H0 : on rejette H0 si |z| > 1,96 (bilatéral, α = 5 %) ou si z > 1,645 (unilatéral droit). Si n < 30 et σ inconnu, dans une population normale, on utilise le test t de Student : t = (x̄ − μ0) / (s/√n) comparé à tα, n−1. Pour une proportion, avec np0 ≥ 5 et nq0 ≥ 5 : z = (f − p0) / √(p0q0/n). Exemple : 120 garçons sur 200 naissances (f = 0,60) contre p0 = 0,5 donnent z = 0,10/√(0,25/200) = 0,10/0,0354 ≈ 2,83 > 1,96, différence significative au seuil de 5 %.
4. Tests de comparaison de deux moyennes ou de deux proportions
Pour deux échantillons indépendants de tailles n1 et n2 (H0 : μ1 = μ2), grands (n1, n2 ≥ 30), la statistique est z = (x̄1 − x̄2) / √(s12/n1 + s22/n2), comparée à 1,96. Pour de petits échantillons issus de populations normales de même variance (à vérifier par le test F de Fisher sur le rapport des variances), on applique le test t de Student à n1 + n2 − 2 degrés de liberté avec la variance commune s2 = [(n1−1)s12 + (n2−1)s22] / (n1 + n2 − 2) et t = (x̄1 − x̄2) / √(s2(1/n1 + 1/n2)). Pour des échantillons appariés (mêmes individus avant et après traitement), on teste la nullité de la moyenne des différences di par un test t à n − 1 ddl.
Pour deux proportions (H0 : p1 = p2), on estime la proportion commune p̂ = (n1f1 + n2f2) / (n1 + n2) et l'on calcule z = (f1 − f2) / √(p̂(1−p̂)(1/n1 + 1/n2)). Pour comparer plus de deux moyennes, la méthode est l'analyse de variance (ANOVA) à un facteur, qui compare la variance entre groupes à la variance à l'intérieur des groupes par un test F.
5. Le test du khi-deux
Le test du χ2 compare des effectifs observés Oi à des effectifs théoriques Ei attendus sous H0 : χ2obs = Σ (Oi − Ei)2 / Ei. Plus les écarts sont grands, plus χ2 est grand ; on rejette H0 si χ2obs > χ2α lu dans la table pour le nombre de degrés de liberté (test toujours unilatéral droit). Condition : tous les effectifs théoriques doivent être ≥ 5 (sinon on regroupe des classes). Le test d'ajustement (ou de conformité) vérifie qu'une distribution observée suit une loi donnée — par exemple les proportions mendéliennes 9:3:3:1 d'un croisement dihybride, ou l'équilibre de Hardy-Weinberg — avec k − 1 ddl pour k classes (moins le nombre de paramètres estimés à partir des données).
Le test d'indépendance s'applique à un tableau de contingence à l lignes et c colonnes : sous H0 (les deux caractères sont indépendants) l'effectif théorique de la case (i, j) est Eij = ni. × n.j / n, et le nombre de degrés de liberté vaut (l − 1)(c − 1). Pour un tableau 2 × 2 (par exemple tabagisme × cancer), ddl = 1 et la valeur critique à 5 % est 3,841. Un χ2 significatif indique une liaison entre les caractères, sans en préciser le sens ni prouver une causalité.
Probabilité de rejeter H0 alors qu'elle est vraie ; c'est le seuil de signification du test, fixé à l'avance (5 % ou 1 %).
Nombre de valeurs libres dans le calcul d'une statistique ; il détermine la ligne à lire dans les tables de Student et du khi-deux (n − 1 pour un test t sur un échantillon, (l − 1)(c − 1) pour un χ² d'indépendance).
| Question | Test | Statistique | Loi sous H0 |
|---|---|---|---|
| Une moyenne vs une référence μ0, n ≥ 30 | Test z | (x̄ − μ0)/(σ/√n) | N(0, 1) |
| Une moyenne vs μ0, n < 30, σ inconnu | Test t | (x̄ − μ0)/(s/√n) | Student, n − 1 ddl |
| Une proportion vs p0 | Test z | (f − p0)/√(p0q0/n) | N(0, 1) |
| Deux moyennes, échantillons indépendants | Test z ou t | (x̄1 − x̄2)/erreur type | N(0, 1) ou Student n1 + n2 − 2 ddl |
| Distribution observée vs loi théorique | χ² d'ajustement | Σ (O − E)²/E | χ², k − 1 ddl |
| Liaison entre deux caractères qualitatifs | χ² d'indépendance | Σ (O − E)²/E | χ², (l − 1)(c − 1) ddl |
Choisir le bon test
- H<sub>0</sub> = absence d'effet ; α = P(rejeter H<sub>0</sub> | H<sub>0</sub> vraie) ; β = P(garder H<sub>0</sub> | H<sub>0</sub> fausse) ; puissance = 1 − β.
- Bilatéral : |z| > 1,96 (5 %) ; unilatéral : z > 1,645 ; petit échantillon → t de Student à n − 1 ddl.
- Comparaison de deux moyennes : z = (x̄<sub>1</sub> − x̄<sub>2</sub>)/√(s<sub>1</sub>²/n<sub>1</sub> + s<sub>2</sub>²/n<sub>2</sub>) ; deux proportions : p̂ commune.
- χ² = Σ (O − E)²/E, effectifs théoriques ≥ 5 ; ajustement k − 1 ddl, indépendance (l − 1)(c − 1) ddl, E<sub>ij</sub> = n<sub>i.</sub>n<sub>.j</sub>/n.
- Non-rejet de H<sub>0</sub> ≠ preuve de H<sub>0</sub> ; toujours conclure en termes biologiques au seuil α.
Les sujets des facultés marocaines proposent presque toujours un test de comparaison (deux lots de plantes, deux traitements, garçons/filles) et un khi-deux (ségrégation mendélienne 3:1 ou 9:3:3:1, tableau de contingence 2 × 2). Rédige les cinq étapes, indique clairement le ddl et la valeur critique lue, et conclus dans le contexte. Pièges : test bilatéral traité comme unilatéral, degrés de liberté faux, effectifs théoriques calculés avec des fréquences au lieu d'effectifs, et conclusion « H0 est vraie » au lieu de « la différence n'est pas significative ».