Probabilités : événements, dénombrement et probabilités conditionnelles

La théorie des probabilités construit des modèles mathématiques pour les expériences dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer d'un dé, transmission d'un allèle, résultat d'un test de dépistage. Ce chapitre pose le cadre (univers, événements, axiomes), les outils de dénombrement, puis les probabilités conditionnelles et la formule de Bayes, dont les applications médicales sont un classique de l'examen de Statistiques S3.

1. Expérience aléatoire, univers et événements

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on peut décrire à l'avance tous les résultats possibles. L'ensemble de ces résultats est l'univers (ou ensemble fondamental) Ω ; il peut être fini (dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}), infini dénombrable (nombre de lancers jusqu'au premier 6 : Ω = {1, 2, 3, …}) ou infini non dénombrable (durée de vie d'un organisme : Ω = ]0 ; +∞[). Un événement A est un sous-ensemble de Ω ; il est réalisé si le résultat de l'expérience appartient à A. Un événement élémentaire est un singleton {ω}.

Le langage des ensembles traduit celui des événements : Ω est l'événement certain, ∅ l'événement impossible, A ∪ B l'événement « A ou B », A ∩ B l'événement « A et B », Ā (le complémentaire) l'événement contraire « non A ». Deux événements sont incompatibles si A ∩ B = ∅ : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Un ensemble d'événements A₁, …, A_k deux à deux incompatibles et dont la réunion est Ω forme un système complet d'événements (une partition de Ω).

2. Analyse combinatoire

Le dénombrement sert à compter les résultats possibles. Le nombre de permutations de n objets distincts est n! = n × (n−1) × … × 1 (avec 0! = 1). Le nombre d'arrangements de p objets pris parmi n, ordonnés et sans répétition, est A_n^p = n! / (n−p)! ; avec répétition (tirages avec remise) il y a n^p possibilités. Le nombre de combinaisons de p objets parmi n, sans ordre, est C_n^p = n! / [p! (n−p)!], avec les propriétés C_n^p = C_n^n−p, C_n⁰ = C_nⁿ = 1 et le triangle de Pascal C_n^p = C_n−1^p−1 + C_n−1^p. La question à se poser est toujours la même : l'ordre compte-t-il, et y a-t-il remise ?

3. Axiomes et propriétés d'une probabilité

Une probabilité P est une application qui associe à tout événement A un nombre P(A) tel que : (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (2) P(Ω) = 1 ; (3) pour des événements deux à deux incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (additivité). On en déduit P(∅) = 0, P(Ā) = 1 − P(A), P(A) ≤ P(B) si A ⊂ B, et la formule générale P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), valable même si A et B ne sont pas incompatibles. Le couple (Ω, P) est un espace de probabilité.

Quand Ω est fini et que tous les résultats élémentaires ont la même chance (dé équilibré, tirage au hasard), on est en situation d'équiprobabilité et P(A) = card(A) / card(Ω) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles (définition de Laplace). C'est là que le dénombrement intervient : la probabilité d'obtenir exactement 2 filles dans une fratrie de 3 enfants est C₃² / 2³ = 3/8. L'interprétation fréquentiste justifie le modèle : la fréquence d'un événement au cours de n répétitions se stabilise vers sa probabilité quand n devient grand.

4. Probabilités conditionnelles et indépendance

La probabilité conditionnelle de A sachant B (avec P(B) > 0) est P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) : on restreint l'univers à B. Elle donne la formule des probabilités composées P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A), qui se généralise aux arbres de probabilités : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P(A|B) = P(A) : savoir que B est réalisé ne change rien à la probabilité de A. Ne pas confondre : incompatibles (A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0) et indépendants (P(A ∩ B) = P(A)P(B)) ; deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être les deux à la fois.

5. Probabilités totales et formule de Bayes

Si B₁, …, B_k forment un système complet d'événements, la formule des probabilités totales donne P(A) = Σ P(B_i) × P(A|B_i). La formule de Bayes inverse le conditionnement : P(B_i|A) = P(B_i) × P(A|B_i) / P(A). Application obligatoire en biologie : un test de dépistage de sensibilité Se = P(T+|M) et de spécificité Sp = P(T−|M̄), dans une population où la prévalence de la maladie est P(M). La valeur prédictive positive P(M|T+) = Se × P(M) / [Se × P(M) + (1 − Sp) × (1 − P(M))] est souvent bien plus faible que la sensibilité quand la maladie est rare : avec Se = Sp = 0,99 et une prévalence de 1 %, on obtient P(M|T+) = 0,5 seulement.