Fiche de révision · S3

Résumé — Statistiques

Tout le module en une page : les chapitres condensés en points essentiels, le vocabulaire et les pièges d'examen. Pour la veille de l'épreuve.

Statistique descriptive à une dimension

Population → individu → échantillon (taille n) ; caractère → modalités incompatibles et exhaustives.
Qualitative (nominale, ordinale) vs quantitative (discrète → bâtons ; continue → classes, histogramme à surface proportionnelle).
fi = ni/n, Σ fi = 1 ; fréquences cumulées Fi → médiane et quartiles par interpolation linéaire.
Moyenne x̄ = Σ fixi (centres de classes) ; mode = effectif max ; médiane = 50 % de part et d'autre, insensible aux extrêmes.
Variance σ² = (1/n) Σ nixi² − x̄² ; écart-type σ = √σ² ; CV = σ/x̄ sans unité pour comparer deux séries.

Tableau de contingence : nij conjoints, marges ni. et n.j ; indépendance si nij = ni.n.j/n.
Covariance cov(x, y) = (1/n) Σ xiyi − x̄ȳ : signe = sens de la liaison.
Corrélation r = cov/(σxσy) ∈ [−1 ; 1] ; r² = part de variance de Y expliquée par X.
Droite des moindres carrés y = ax + b : a = cov/σx², b = ȳ − ax̄, passe par le point moyen G(x̄ ; ȳ) ; a × a' = r².
Corrélation ≠ causalité ; r = 0 n'exclut pas une liaison non linéaire (log pour exponentielle ou puissance).

Univers Ω, événement ⊂ Ω ; Ā contraire, ∩ « et », ∪ « ou » ; incompatibles si A ∩ B = ∅.
Axiomes : 0 ≤ P ≤ 1, P(Ω) = 1, additivité ; P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(Ā) = 1 − P(A).
Équiprobabilité : cas favorables / cas possibles ; Anp = n!/(n−p)! (ordre) vs Cnp = n!/[p!(n−p)!] (sans ordre) vs np (avec remise).
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ; indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) (≠ incompatibles).
Probabilités totales P(A) = Σ P(Bi)P(A|Bi) → Bayes P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi)/P(A) ; test de dépistage : VPP dépend de la prévalence.

Loi : couples (xi ; pi), Σ pi = 1 ; F(t) = P(X ≤ t) en escalier ; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).
E(X) = Σ xipi ; V(X) = E(X²) − [E(X)]² ; V(aX + b) = a²V(X) ; V(X + Y) = V(X) + V(Y) si indépendantes.
Bernoulli B(p) : E = p, V = pq → Binomiale B(n, p) : P(X = k) = Cnkpkqn−k, E = np, V = npq.
Poisson P(λ) événements rares : P(X = k) = e−λλk/k!, E = V = λ ; approche B(n, p) si n ≥ 30, p ≤ 0,1 (λ = np).
Géométrique (rang du 1er succès) : E = 1/p ; hypergéométrique = tirages sans remise, ≈ binomiale si n/N < 0,1.

Densité f ≥ 0 d'aire 1 ; P(a ≤ X ≤ b) = aire sous f ; P(X = a) = 0 ; F' = f ; E = ∫ x f(x) dx.
Uniforme U[a ; b] : E = (a+b)/2, V = (b−a)²/12 ; exponentielle E(λ) : E = 1/λ, V = 1/λ², sans mémoire.
Normale N(μ, σ) : cloche symétrique, μ = médiane = mode ; 68 % dans μ ± σ, 95 % dans μ ± 1,96σ, 99,7 % dans μ ± 3σ.
Centrer-réduire Z = (X − μ)/σ → table Π(z) ; Π(−z) = 1 − Π(z) ; z = 1,645 (95 % unilatéral), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %).
TCL : X̄ ≈ N(μ, σ/√n) dès n ≥ 30 ; B(n, p) ≈ N(np, √npq) si np et nq ≥ 5 ; P(λ) ≈ N(λ, √λ) si λ grand.

Paramètres μ, σ, p fixes et inconnus vs statistiques x̄, s, f aléatoires : fluctuation d'échantillonnage.
E(X̄) = μ, V(X̄) = σ²/n → erreur type σ/√n ; F ≈ N(p, √(pq/n)).
Variance corrigée s² = n/(n−1) × σ²obs : estimateur sans biais de σ² ; x̄ et f sans biais pour μ et p.
IC moyenne (1 − α) : x̄ ± z σ/√n (σ connu ou n ≥ 30) ; x̄ ± tn−1 s/√n si n < 30 et σ inconnu.
IC proportion : f ± z √(f(1−f)/n) ; taille d'échantillon n = (zσ/e)² ou z²p(1−p)/e² (p = 0,5 au pire).

H0 = absence d'effet vs H1 (bilatéral ≠, unilatéral > ou <) ; α = rejeter H0 vraie ; β = garder H0 fausse ; puissance 1 − β.
Cinq étapes : hypothèses → conditions → valeur critique (α) → statistique observée → conclusion en contexte.
Conformité : z = (x̄ − μ0)/(σ/√n) vs 1,96 ; t de Student à n − 1 ddl si n < 30 ; proportion z = (f − p0)/√(p0q0/n).
Deux moyennes : z = (x̄1 − x̄2)/√(s1²/n1 + s2²/n2) ; petits échantillons → t à n1 + n2 − 2 ddl ; appariés → t sur les différences.
χ² = Σ (O − E)²/E, E ≥ 5 ; ajustement k − 1 ddl ; indépendance Eij = ni.n.j/n, (l − 1)(c − 1) ddl, 2 × 2 → 3,841 à 5 %.