Comment une goutte s'étale-t-elle sur une surface, pourquoi le miel coule-t-il plus lentement que l'eau, et de quoi dépend le débit sanguin dans une artère ? Ce chapitre relie l'interface solide-liquide (mouillabilité), la viscosité et les lois de l'écoulement (Poiseuille, Reynolds, Stokes), qui constituent la base de l'hémodynamique et un gisement d'exercices de calcul aux examens.
1. Mouillabilité et angle de contact
Déposée sur un solide plan et propre, une goutte adopte une forme qui dépend de la compétition entre les forces de cohésion (liquide-liquide) et d'adhésion (liquide-solide). L'angle de contact θ, mesuré dans le liquide entre la surface solide et la tangente à la goutte, quantifie le pouvoir mouillant : θ < 90° pour un liquide mouillant (eau sur verre propre, θ proche de 0°), θ > 90° pour un liquide non mouillant (mercure sur verre, eau sur surface cirée ou sur feuille de lotus). À l'équilibre, la relation de Young lie les trois tensions interfaciales : σSG = σSL + σLG cos θ, et l'énergie d'adhésion d'un liquide sur un solide s'écrit selon Dupré Wa = σLG (1 + cos θ). Le mouillage conditionne l'étalement des larmes sur la cornée, l'adhésion cellulaire aux supports de culture et la lubrification des articulations.
2. La viscosité : définition et unités
La viscosité est la résistance d'un fluide à l'écoulement, autrement dit le frottement interne entre couches de fluide glissant les unes sur les autres. Dans un écoulement en couches parallèles, la contrainte de cisaillement τ (force par unité de surface) est proportionnelle au gradient de vitesse : τ = η × dv/dz (loi de Newton). Le coefficient η est la viscosité dynamique, exprimée en Pa·s (ou poiseuille, Pl) ; l'ancienne unité est le poise, 1 Pl = 10 Po. L'eau a une viscosité d'environ 1 mPa·s à 20 °C ; celle du plasma est de 1,5 à 2 mPa·s et celle du sang total de 3 à 4 mPa·s, essentiellement à cause de l'hématocrite. La viscosité des liquides diminue quand la température augmente. Un fluide est newtonien si η ne dépend pas du gradient de vitesse (eau, plasma) ; le sang est non newtonien : sa viscosité apparente baisse quand la vitesse augmente (déformation et alignement des hématies) et diminue dans les vaisseaux de moins de 300 µm (effet Fåhræus-Lindqvist).
3. Écoulement laminaire : loi de Poiseuille
Dans un tube cylindrique rigide, un fluide newtonien s'écoule en régime laminaire avec un profil de vitesse parabolique : la vitesse est maximale sur l'axe et nulle contre la paroi. Le débit volumique Q suit la loi de Poiseuille : Q = π r4 ΔP / (8 η L), où ΔP est la différence de pression entre les extrémités, r le rayon et L la longueur du tube. Par analogie avec la loi d'Ohm (ΔP = R × Q), la résistance hydraulique vaut R = 8ηL / (π r4). La dépendance en r4 est le point capital : réduire le rayon d'une artériole de moitié multiplie sa résistance par 16. C'est ainsi que les artérioles, par vasoconstriction et vasodilatation, règlent la pression artérielle et la répartition du débit cardiaque entre les organes. Une augmentation de la viscosité (polyglobulie) élève elle aussi la résistance et donc le travail du cœur.
4. Nombre de Reynolds et régime turbulent
Au-delà d'une certaine vitesse, l'écoulement laminaire devient turbulent : les lignes de courant se désorganisent en tourbillons, le débit n'est plus proportionnel à ΔP et l'écoulement devient bruyant. Le passage d'un régime à l'autre est prédit par le nombre de Reynolds, sans dimension : Re = ρ v D / η (masse volumique, vitesse moyenne, diamètre, viscosité). L'écoulement est laminaire pour Re inférieur à environ 2 000 et franchement turbulent au-delà de 3 000. Dans la circulation, le régime est laminaire presque partout, sauf à la sortie du cœur (aorte) et au niveau d'un rétrécissement (sténose) ou d'une anémie sévère (viscosité basse) : les turbulences produisent alors des souffles audibles au stéthoscope. La mesure de la pression artérielle au brassard exploite le même phénomène (bruits de Korotkoff).
5. Loi de Stokes, sédimentation et mesure de la viscosité
Une sphère de rayon r qui se déplace lentement à la vitesse v dans un fluide subit une force de frottement donnée par la loi de Stokes : F = 6π η r v. Une bille lâchée dans un liquide visqueux est soumise à son poids, à la poussée d'Archimède et à ce frottement ; elle atteint vite une vitesse limite constante vlim = 2 r2 (ρs − ρl) g / (9η). C'est le principe du viscosimètre à chute de bille (Hoeppler) ; le viscosimètre d'Ostwald compare quant à lui les temps d'écoulement de deux liquides dans un même capillaire (loi de Poiseuille). La même loi régit la vitesse de sédimentation des hématies (VS) : elle augmente quand les globules s'agrègent en rouleaux au cours d'une inflammation, et elle fonde l'ultracentrifugation des macromolécules et des organites.
Coefficient η de proportionnalité entre la contrainte de cisaillement et le gradient de vitesse dans un fluide (τ = η dv/dz) ; unité SI le pascal-seconde (poiseuille).
Grandeur sans dimension Re = ρ v D / η qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses ; l'écoulement est laminaire en dessous d'environ 2 000 et turbulent au-dessus de 3 000.
| Loi | Expression | Point clé |
|---|---|---|
| Newton (viscosité) | τ = η dv/dz | η en Pa·s ; eau ≈ 1 mPa·s |
| Poiseuille | Q = π r⁴ ΔP / (8 η L) | Résistance en 1/r⁴ |
| Reynolds | Re = ρ v D / η | < 2 000 laminaire, > 3 000 turbulent |
| Stokes | F = 6π η r v | Chute de bille, sédimentation |
| Young | σ_SG = σ_SL + σ_LG cos θ | θ < 90° : mouillant |
Les lois de l'écoulement à retenir
- L'angle de contact θ mesure la mouillabilité : θ < 90° mouillant, θ > 90° non mouillant (relation de Young).
- Viscosité = frottement interne du fluide ; η en Pa·s, diminue avec la température ; sang ≈ 3 à 4 mPa·s.
- Poiseuille : Q = π r⁴ ΔP/(8ηL) ; la résistance varie en 1/r⁴, d'où le rôle des artérioles.
- Le sang est non newtonien : sa viscosité dépend de l'hématocrite, de la vitesse et du diamètre du vaisseau.
- Reynolds Re = ρvD/η : turbulence au-delà de 3 000, à l'origine des souffles cardiaques.
- Stokes F = 6πηrv : base des viscosimètres à bille et de la vitesse de sédimentation.
Les sujets marocains proposent presque toujours un exercice sur Poiseuille (variation de débit quand le rayon change, calcul de résistance) et un autre sur la chute d'une bille ou le viscosimètre d'Ostwald. Piège récurrent : oublier que r est à la puissance 4, se tromper d'unité entre poise et poiseuille, et confondre viscosité dynamique η et viscosité cinématique ν = η/ρ. Retiens bien la valeur seuil de Reynolds et son interprétation clinique.