Résoudre un système d'équations linéaires est le problème le plus courant des sciences appliquées : bilans de matière, équilibres chimiques, ajustement de modèles. Ce chapitre relie les systèmes aux matrices et aux déterminants, expose la méthode du pivot de Gauss, les formules de Cramer et la discussion complète du nombre de solutions, y compris lorsqu'un paramètre intervient — la question finale la plus fréquente du sujet d'algèbre.
1. Systèmes linéaires et écriture matricielle
Un système linéaire de n équations à p inconnues x1, …, xp s'écrit ai1x1 + … + aipxp = bi pour i = 1, …, n. En notant A = (aij) la matrice du système (n × p), X la colonne des inconnues et B la colonne des seconds membres, il équivaut à l'équation matricielle AX = B. Le système est homogène si B = 0 ; il admet toujours la solution nulle. Il est compatible s'il possède au moins une solution. Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions ; les opérations élémentaires sur les lignes (échange Li ↔ Lj, multiplication Li ← λLi avec λ ≠ 0, ajout Li ← Li + μLj) transforment un système en un système équivalent.
2. Systèmes de Cramer
Lorsque n = p et que det A ≠ 0, le système est dit de Cramer : il admet une unique solution, X = A−1B. Les formules de Cramer la donnent directement : xi = det Ai / det A, où Ai est la matrice A dont la i-ième colonne est remplacée par B. À l'ordre 2, pour ax + by = e et cx + dy = f, on obtient x = (ed − bf)/(ad − bc) et y = (af − ec)/(ad − bc). Ces formules sont pratiques jusqu'à l'ordre 3 ; au-delà, le nombre de déterminants à calculer explose et le pivot de Gauss est plus efficace. Si det A = 0, le système n'est pas de Cramer : il a soit aucune solution, soit une infinité, jamais une seule.
Système AX = B carré (autant d'équations que d'inconnues) dont la matrice est inversible (det A ≠ 0). Il possède une solution unique, donnée par X = A−1B ou par les formules xi = det Ai / det A.
3. La méthode du pivot de Gauss
Le pivot de Gauss transforme, par opérations élémentaires sur les lignes, le système en un système échelonné (triangulaire) que l'on résout en remontant. Algorithme : (1) choisir un pivot non nul dans la première colonne (échanger des lignes si nécessaire) ; (2) éliminer x1 des lignes suivantes par Li ← Li − (ai1/pivot)·L1 ; (3) recommencer avec la sous-matrice restante, colonne par colonne ; (4) une fois la forme échelonnée obtenue, calculer la dernière inconnue puis remonter. Sur la matrice augmentée [A | B], la méthode est purement mécanique. Prolongée jusqu'à la forme réduite (pivots égaux à 1 et zéros au-dessus), c'est la méthode de Gauss-Jordan, qui donne aussi A−1 en traitant [A | I]. Exemple : le système x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 se résout par L2 ← L2 − 2L1 et L3 ← L3 − L1, puis élimination de y, et donne (x, y, z) = (1, 2, 3).
4. Rang et discussion du nombre de solutions
Le rang r du système (ou de la matrice A) est le nombre de pivots non nuls, c'est-à-dire d'équations réellement indépendantes, une fois la forme échelonnée obtenue ; il vaut au plus min(n, p). Les lignes devenues 0 = b (avec b ≠ 0) sont des équations incompatibles : le système n'a alors aucune solution. Sinon, le système est compatible et l'ensemble des solutions dépend de p − r paramètres : solution unique si r = p, infinité de solutions si r < p, les p − r inconnues non principales (sans pivot) jouant le rôle de paramètres libres. Pour un système homogène, la compatibilité est automatique : il n'a que la solution nulle si r = p, une infinité de solutions sinon ; en particulier, un système homogène avec plus d'inconnues que d'équations a toujours des solutions non nulles. Structure : les solutions de AX = B s'obtiennent en ajoutant à une solution particulière toutes les solutions du système homogène associé.
5. Systèmes dépendant d'un paramètre
Question classique : « Discuter suivant les valeurs du réel m le système… ». Méthode pour un système carré : calculer det A(m), polynôme en m ; pour les valeurs où det A(m) ≠ 0, le système est de Cramer et la solution unique s'exprime en fonction de m (Cramer ou pivot) ; pour chaque valeur annulant le déterminant, remplacer m par cette valeur et appliquer le pivot pour trancher entre « aucune solution » et « infinité de solutions », en donnant alors l'ensemble des solutions paramétré. Pour un système non carré, on échelonne directement en gardant m symbolique et l'on distingue les cas où un pivot ou un second membre s'annule. Une interprétation géométrique aide à vérifier : à l'ordre 3, chaque équation est un plan ; solution unique = trois plans concourants en un point, infinité = droite ou plan commun, aucune = plans sans point commun aux trois.
| Situation | Nombre de solutions | Exemple |
|---|---|---|
| Équation 0 = b avec b ≠ 0 après échelonnement | Aucune (incompatible) | x + y = 1 et x + y = 2 |
| Compatible et r = p | Unique | Système de Cramer (det A ≠ 0) |
| Compatible et r < p | Infinité, dépendant de p − r paramètres | x + y + z = 1 seul : plan de solutions |
| Homogène, r = p | Solution nulle uniquement | AX = 0 avec det A ≠ 0 |
| Homogène, r < p | Infinité (sous-espace de dimension p − r) | Plus d'inconnues que d'équations |
Discussion d'un système à p inconnues de rang r
- AX = B : A matrice du système, X inconnues, B seconds membres ; opérations sur les lignes = système équivalent.
- Cramer : n = p et det A ≠ 0 ⇒ solution unique x<sub>i</sub> = det A<sub>i</sub> / det A.
- Pivot de Gauss : échelonner puis remonter ; Gauss-Jordan sur [A | I] donne A⁻¹.
- Rang r = nombre de pivots ; 0 = b ≠ 0 ⇒ aucune solution ; r = p ⇒ unique ; r < p ⇒ infinité (p − r paramètres).
- Homogène : toujours la solution nulle ; solutions non nulles ⇔ det A = 0 (cas carré).
- Paramètre m : calculer det A(m), traiter séparément chaque valeur qui l'annule.
Le sujet d'algèbre de Mathématiques S1 se termine presque toujours par un système 3 × 3, souvent à paramètre : calcule le déterminant, résous par Cramer ou par le pivot dans le cas général, puis traite chaque valeur critique à part — c'est là que se gagnent les points. Pièges : oublier un cas particulier, diviser par une expression qui peut s'annuler, ou affirmer « det A = 0 donc pas de solution » alors qu'il peut y en avoir une infinité. Présente la solution finale sous forme d'ensemble, avec les paramètres explicités.